FUNDAMENTOS CONCEPTUALES

 

1.1.           DEFINICIÓN DE DERIVADA

 la     Derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente.

Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a. C.), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta diecinueve siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).

En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:

• El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge)
• El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat)

En su conjunto dieron origen a lo que actualmente se conoce como cálculo diferencial.

 CONCEPTOS Y APLICACIONES 

Según Albert Einstein, el mayor aporte que se obtuvo de la derivada fue la posibilidad de formular diversos problemas de la física mediante ecuaciones diferenciales.

Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación.

1.1.      ¿COMO SE CONSIDERA A LA DERIVADA?

Se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto. 

Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como monotonía de una función (si es creciente o decreciente) y la concavidad o convexidad.

1.1.      DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Esto es, la derivada de ƒ es la función dada por

Esta función sólo está definida en los puntos del dominio de ƒ donde el límite existe; en otras palabras, el dominio de ƒ´ está contenido en el de ƒ.

1.1.      NOTACIÓN

Existen diversas formas para nombrar a la derivada. Siendo f una función, se escribe la derivada de la función f respecto al valor x en varios modos.

1.1.1. Notación de Lagrange

La notación más simple para diferenciación, en uso actual, consiste en denotar la derivada de una función f (x) como f´(x): se lee «f prima de x».

La derivada cuarta y siguientes se pueden denotar de dos formas:

•        con números romanos:

•        con números entre paréntesis:

Notación de Leibniz

Otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función derivada de f, se escribe:

También puede encontrarse como    

1.1.1. Notación de Newton

La notación de Newton para la diferenciación respecto al tiempo, era poner un punto arriba del nombre de la función:

y así sucesivamente.

Notación de Euler

                                                (Notaciones de Euler y Jacobi, respectivamente)

Se lee «d sub x de f», y los símbolos D y ∂ deben entenderse como operadores diferenciales.

1.1.1. UTILIDAD DE LA DERIVACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

Pueden utilizarse para resolver problemas reales como los que se presentan en el mundo de los negocios, las ciencias y la vida real. Al trabajar con datos reales se aumenta la dificultad para realizar cálculos y las gráficas, así como el análisis de las mismas.